HD-Wahl
Wie Davini im LW so schön angemerkt an, ist "Selbstähnlichkeit" natürlich nicht sehr genau oder mathematisch, um etwas zu definieren. Alternativ könnte man Fraktale als eine Menge definieren, deren Hausdorff-Dimension strikt größer ist als ihre topologische Dimension. Das braucht dann natürlich etwas Erklärung.
Schauen wir uns also erstmal eine Linie, ein Quadrat und einen Würfel an. Diese haben wohlbekannt eine topologische Dimension von 1, 2 bzw. 3. Was passiert, wenn man diese Objekte in alle Richtungen um einen Faktor 2 vergrößert?
Sie werden insgesamt um einen Faktor von 2, 4 und 8 größer. Wenn man etwas um einen Faktor ε vergrößert und man n mal soviel erhält, hat es die fraktale Dimension* log(n)/log(ε). Ein Linie, ein Quadrat und bzw. ein Würfel haben also die fraktale Dimension log(2)/log(2)=1, log(4)/log(2)=2 bzw. log(8)/log(2)=3, was wie zu erwarten ihrer topologischen Dimension entspricht. Es sind also keine Fraktale.
Aber wie sieht es mit dem Sierpinski-Dreieck aus? Offensichtlich ist es in der zweidimensionalen Ebene eingebettet, aber hat es eine Fläche? Wenn man mit einem Dreieck mit einer Fläche von 1 anfängt das mittlere Viertel entfernt und dann immer wieder ein Viertel der Fläche entfernt, hat man nach n Schritten eine Fläche von (3/4)^n. Für n gegen unendlich, behält man also eine Fläche von 0 übrig. Demnach hat das Sierpinski-Dreieck keine Fläche und eine topologische Dimension von 1 (offensichtlich ist die topologische Dimension größer als 0). Schauen wir mal, was passiert, wenn man das Sierpinski-Dreieck um einen Faktor 2 vergrößert:
Man erhält ein größeres Dreieck, das aus drei Kopien besteht. (Man beachte, das aufgrund der unendlichen Detailtiefe des Sierpinski-Dreiecks, das große Dreieck eine exakte Kopie der kleineren ist, aus denen es besteht.)
Die fraktale Dimension ist also log(3)/log(2)=1,5849..., was irgendwo zwischen 1 (der topologischen Dimension) und 2 (der eingebetteten Dimension) liegt.
Die fraktale Dimension vieler Fraktale ist keine ganze Zahl, aber wie wir im Nachtpost sehen werden, gibt es auch welche, die eine ganze fraktale Dimension haben.
*es gibt verschiedene Maße für die fraktale Dimension, eine davon ist die Hausdorff-Dimension. Das was ich hier präsentiere, ist der Einfachheitshalber nicht die Hausdorff-Dimension, aber beide sind in vielen Fällen gleich.
Und als Zugabe präsentiere ich gleich noch ein Fraktal: Die Koch-Kurve (benannt nach dem schwedischen Mathematiker Helge von Koch)
Man beginne mit einer einfachen Linie der Länge 1, die man in 3 gleich große Intervalle unterteilt. Aus dem mittleren Intervall konstruiert man ein gleichseitiges Dreieck und entfernt die untere Seite. Jetzt hat man vier verbundene Linien der Länge 1/3. Und wie man es so häufig bei Fraktalen tut, wiederholt man das jetzt mit allen vier Linien und mit den 16 Linien, dann man dann erhält und das immer weiter:
Oder man "klebt" mehrere Koch-Kurven zusammen, um die Koch-Schneeflocke zu erhalten:
Jetzt könnte man sich fragen, wie lang ist die Koch-Kurve? Man beginnt mit einer unscheinbaren Linie, aber in jedem Iterationsschritt, verlängert man sie um ein Drittel. Wenn man zu etwas unendlich oft ein Drittel hinzufügt, erhält man offensichtlich eine unendliche Länge. Und nicht nur ist die Koch-Kurve unendlich lang, zwei beliebige Punkte auf ihr sind immer unendlich weit voneinander entfernt, da zwischen ihnen unendlich viele "Zacken" liegen.
Die spannendere Frage ist, wie groß ist die Fläche unter der Koch-Kurve? (Im folgenden Bild grün markiert)
Im Gegensatz zur Länge der Koch-Kurve ist die Fläche endlich und konvergiert mit jeder Iteration zu einem festen Wert. Man könnte jetzt die Fläche alle Dreiecke, die man hinzufügt, addieren ... oder man stellt fest, dass die Koch-Kurve aus vier kleineren Varianten und einem großen mittleren Dreieck besteht. Die kleineren Koch-Kurven haben nur ein Drittel der Länge (und damit 1/9 der Fläche) und wenn man die Größe des großen Dreiecks als 1 definiert, erhält man:
Fläche = 4*Fläche/9 + 1 = 9/5
HD-Wahl Stand:
Fayks (1): MichaelCR97
Jopnu (3): Lark, Jopnu, LB123
Lark (1): mEEmcO
MichaelCR97 (1): Fayks
Jopnu wird HD und entscheidet somit zukünftig bei einem Unentschieden!
(Ich bin mal gnädig mit dem Postzwang, aber Lark darf trotzdem versuchen, zwei Post pro Tag zu machen)
Es wird Nacht
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Stand Tag 1
Fayks (1): MichaelCR97
Jopnu (3): Lark, Jopnu, LB123
Lark (1): mEEmcO
MichaelCR97 (1): Fayks
Deadline abgelaufen
) Deadline auf 24.06.21 20:00 gesetzt
