Spiel 102 | Standardspiel | Xaver | Die Welt der Fraktale | Sieg der Werwölfe

HD-Wahl

Wie Davini im LW so schön angemerkt an, ist "Selbstähnlichkeit" natürlich nicht sehr genau oder mathematisch, um etwas zu definieren. Alternativ könnte man Fraktale als eine Menge definieren, deren Hausdorff-Dimension strikt größer ist als ihre topologische Dimension. Das braucht dann natürlich etwas Erklärung.

Schauen wir uns also erstmal eine Linie, ein Quadrat und einen Würfel an. Diese haben wohlbekannt eine topologische Dimension von 1, 2 bzw. 3. Was passiert, wenn man diese Objekte in alle Richtungen um einen Faktor 2 vergrößert?

Sie werden insgesamt um einen Faktor von 2, 4 und 8 größer. Wenn man etwas um einen Faktor ε vergrößert und man n mal soviel erhält, hat es die fraktale Dimension* log(n)/log(ε). Ein Linie, ein Quadrat und bzw. ein Würfel haben also die fraktale Dimension log(2)/log(2)=1, log(4)/log(2)=2 bzw. log(8)/log(2)=3, was wie zu erwarten ihrer topologischen Dimension entspricht. Es sind also keine Fraktale.

Aber wie sieht es mit dem Sierpinski-Dreieck aus? Offensichtlich ist es in der zweidimensionalen Ebene eingebettet, aber hat es eine Fläche? Wenn man mit einem Dreieck mit einer Fläche von 1 anfängt das mittlere Viertel entfernt und dann immer wieder ein Viertel der Fläche entfernt, hat man nach n Schritten eine Fläche von (3/4)^n. Für n gegen unendlich, behält man also eine Fläche von 0 übrig. Demnach hat das Sierpinski-Dreieck keine Fläche und eine topologische Dimension von 1 (offensichtlich ist die topologische Dimension größer als 0). Schauen wir mal, was passiert, wenn man das Sierpinski-Dreieck um einen Faktor 2 vergrößert:

Man erhält ein größeres Dreieck, das aus drei Kopien besteht. (Man beachte, das aufgrund der unendlichen Detailtiefe des Sierpinski-Dreiecks, das große Dreieck eine exakte Kopie der kleineren ist, aus denen es besteht.)

Die fraktale Dimension ist also log(3)/log(2)=1,5849..., was irgendwo zwischen 1 (der topologischen Dimension) und 2 (der eingebetteten Dimension) liegt.

Die fraktale Dimension vieler Fraktale ist keine ganze Zahl, aber wie wir im Nachtpost sehen werden, gibt es auch welche, die eine ganze fraktale Dimension haben.

*es gibt verschiedene Maße für die fraktale Dimension, eine davon ist die Hausdorff-Dimension. Das was ich hier präsentiere, ist der Einfachheitshalber nicht die Hausdorff-Dimension, aber beide sind in vielen Fällen gleich.

Und als Zugabe präsentiere ich gleich noch ein Fraktal: Die Koch-Kurve (benannt nach dem schwedischen Mathematiker Helge von Koch)

Man beginne mit einer einfachen Linie der Länge 1, die man in 3 gleich große Intervalle unterteilt. Aus dem mittleren Intervall konstruiert man ein gleichseitiges Dreieck und entfernt die untere Seite. Jetzt hat man vier verbundene Linien der Länge 1/3. Und wie man es so häufig bei Fraktalen tut, wiederholt man das jetzt mit allen vier Linien und mit den 16 Linien, dann man dann erhält und das immer weiter:

Oder man "klebt" mehrere Koch-Kurven zusammen, um die Koch-Schneeflocke zu erhalten:

Jetzt könnte man sich fragen, wie lang ist die Koch-Kurve? Man beginnt mit einer unscheinbaren Linie, aber in jedem Iterationsschritt, verlängert man sie um ein Drittel. Wenn man zu etwas unendlich oft ein Drittel hinzufügt, erhält man offensichtlich eine unendliche Länge. Und nicht nur ist die Koch-Kurve unendlich lang, zwei beliebige Punkte auf ihr sind immer unendlich weit voneinander entfernt, da zwischen ihnen unendlich viele "Zacken" liegen.

Die spannendere Frage ist, wie groß ist die Fläche unter der Koch-Kurve? (Im folgenden Bild grün markiert)

Im Gegensatz zur Länge der Koch-Kurve ist die Fläche endlich und konvergiert mit jeder Iteration zu einem festen Wert. Man könnte jetzt die Fläche alle Dreiecke, die man hinzufügt, addieren ... oder man stellt fest, dass die Koch-Kurve aus vier kleineren Varianten und einem großen mittleren Dreieck besteht. Die kleineren Koch-Kurven haben nur ein Drittel der Länge (und damit 1/9 der Fläche) und wenn man die Größe des großen Dreiecks als 1 definiert, erhält man:

Fläche = 4*Fläche/9 + 1 = 9/5

HD-Wahl Stand:

Fayks (1): MichaelCR97

Jopnu (3): Lark, Jopnu, LB123

Lark (1): mEEmcO

MichaelCR97 (1): Fayks

Jopnu wird HD und entscheidet somit zukünftig bei einem Unentschieden!

(Ich bin mal gnädig mit dem Postzwang, aber Lark darf trotzdem versuchen, zwei Post pro Tag zu machen)

Es wird Nacht

-----------

Deadline abgelaufen

Erste Nacht

Vielleicht erinnert sich noch wer an meine Einstiege aus den Spielen 83 und 94:

Der erste sieht auf den ersten Blick nur aus wie ein großer Textblock, aber der zweite sieht doch etwas aus wie ein Fraktal?

Die Drachenkurve

Man nehme einen Papierstreifen, falte ihn in der Mitte, falte ihn noch mal in der Mitte (gleiche Seite, gleiche Richtung) und nochmal und nochmal und nochmal... Dann faltet man ihn wieder auseinander, wobei jede Falte einen Winkel von 90° machen muss und man erhält *Trommelwirbel* die Drachenkurve. Wikipedia hat praktischerweise eine illustrierte Anleitung:

Hier das ganze noch als Computeranimation und mit etwas mehr Iterationen (Papier hat die blöde Angewohnheit, dass man es nicht öfter als 7 Mal falten kann):

Hier mein Versuch, eine Drachenkurve zu falten:

Und all die Leute, die wie ich kein unendlich dünnes Papier haben, können man einfach zwei Drachenkurven zusammensetzen, um die nächste Iterationsstufe zu erhalten:

Und wenn man lustig ist, kann man das noch ein oder gar zweimal tun...

(Danach war mein Bedürfnis, Papierstreifen zu falten, erstmal befriedigt, aber ich habe noch ein halbes Blatt Papier übrig)

Die Drachenkurve (wie viele andere Fraktale auch), kann man auch nach dem Lindenmayer-System erzeugen. Man braucht dazu einen Start, Ersetzungsregeln und einen Winkel.

Start: X

Ersetzungsregeln: X -> X+Y und Y -> X-Y

Winkel 90°

X und Y beuteten gerade aus, "+" bedeutet 90° nach links drehen und "-" 90° nach rechts drehen.

Wenn man nun mit X und wiederholt die Ersetzungsregeln anwendet, erhält man:

X

X+Y

X+Y+X-Y

X+Y+X-Y+X+Y-X-Y

etc.

Wenn man die Ersetzung insgesamt 8 Mal machen würde, erhält man die Reihenfolge, in der man meinen Drachen-Kurven-Einstieg lesen muss: Man fängt an mit dem Ende rechts oben M, dann links A, dann links L, dann rechts " ", dann links S, dann links C, dann nach rechts H, dann rechts A, etc.

So liest sich mein Einstieg doch quasi mühelos

Kommen wir zu meinem anderen Einstieg, dem man es aufgrund der Form nicht direkt ansieht, aber es handel sich hierbei um die Hilbert-Kurve (benannt nach ... ratet mal? Genau, dem Mathematiker  David Hilbert!).

Hier ein GIF, das veranschaulicht, wie es erzeugt wird:

Auch die Hilbert-Kurve lässt sich nach dem Lindenmayer-System erzeugen:

Start: A

Ersetzungsregeln: A -> +BF−AFA−FB+ und B -> −AF+BFB+FA−

Wobei "+" und "-" wieder 90° nach links oder rechts bedeuten und F gerade aus (A und B werden ignoriert).

Das ergibt dann wieder die Leserichtung für meinen Einstieg. Ich habe mal hier den Anfang markiert. Die anderen 14/16 des Einstiegs sind nach dem gleichen Muster zu lesen, nur halt in die ein oder andere Richtung rotiert.

Die Drachenkurve und die Hilbert-Kurve haben einige Gemeinsamkeiten: Beides sind eindimensionale Linien und haben daher die topologische Dimension 1. Allerdings kann man mit beiden Kurven die Ebene ausfüllen, da sie die fraktale Dimension 2 haben*. Und das, obwohl sie keine Fläche haben. Erstaunlich.

* Die Hilbert-Kurve besteht aus vier um einen Faktor 2 kleineren Kopien (einige davon gedreht) seiner selbst -> log(4)/log(2)=2. Die Drachenkurve besteht aus 2 um einen Faktor √2 kleineren Kopien -> log(2)/log(√2)=2.

Es wird Tag

Dorfdepp Fayks wird blutig auf dem Dorfplatz aufgefunden. Vielleicht hat es wer auf ihre per Hand gezeichneten Fraktale abgesehen? Oder habt ihr einen besser Ansatz, um bis morgen Abend den oder die Übeltäter(in(nen)) zu finden.

Deadline auf 25.06.21 20:00 gesetzt

SL-Post

Da ich mich scheinbar unklar ausgedrückt habe: Fayks wurde von den Wölfen gefressen. Nein, wir spielen nicht mit Pest und es ist auch kein Trollspiel.